Introduction à la géométrie riemannienne et kahlérienne
Exposés : Jeudi, 14:00-17:00, Salle Eole
Consultations : en prenant un rendez-vous par courriel
apostolov.vestislav@uqam.ca
Description du cours
Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne et sa spécialisation sur
les variétés complexes, la géométrie kahlérienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants :
variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Lemme de Gauss,
application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème
de réductibilité de deRham. Variation première et seconde de la longueur, champs de Jacobi.
Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Théorèmes de Bonnet-Myers, de Synge, et de Cartan-Hadamard.
Uniformisation des variétés riemanniennes à courbure sectionnelle constante. Théorème de Hodge-De Rham.
Champs de Killing et le théorème de Bochner. Métriques kahlériennes sur une variété complexe: l'exemple de
l'espace projectif complexe. Courbure sectionnelle holomorphe; le tenseur de Ricci et la courbure scalaire
d'une variété kahléienne. Variétés de Calabi-Yau, Kahler-Einstein, et à courbure scalaire constante.
Métriques extrémales de Calabi. Exemple : les surfaces complexes de Hirzebruch.
Présentation du cours
Références :
Les notes prises par les étudiant(e)s en classe seront la source principal.
Voici quelques références utiles.
Arthur L. Besse. Einstein manifolds. Springer-Verlag, Berlin, 1987.
Olivier Biquard. Géomƒtrie différentielle et riemannienne. Notes de cours M2.
Sylvestre Gallot, Dominique Hullin, and Jacques Lafontaine. Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, third edition, 2004.
S. Kobayashi and K. Nomizu. Foundations of Differential Geometry. Vol. I and II. Interscience Pub.
Simon Salamon. Riemanniann Geometry and Holonomy Groups.
Pitman Res. Notes in Math. Longman 1989.
R. Narasimhan. Analysis on real and complex manifolds. Advanced Studies in Pure Mathematics. Masson et Cie-Paris, 1968.
A. Kostrikin and Y. Manin. Linear algebra and geometry.
Gordon and Breach Science Publishers (ISBN: 90-5699-049-7).
F. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag.
Programme du cours (hebdomadaire)
Semaine 1 : Rappels sur la géométrie différentielle : variétés différentiables et complexes; exemples (espaces vectoriels et leur quotients, la sphère ronde, les espaces projectifs); applications lisses et difféomorphismes; les problèmes de classification et d'idéntifications.
Exposé 1.
Semaines 2 et 3 : Fibrés vectoriels. Exemples : les fibrés tangent et co-tengent, le fibré tautologique.
Existence de structure riemannienne sur un fibré. Métriques riemanniennes.
Partition de l'unité lisse. Exposés 2 et 3.
Semaine 4 : Premiers exemples de variétés riemanniennes : l'espace euclidien, la sphère,
l'espace hyperbolique réel, les tores plats. Produit cartésien et produit tordu (wrap product) des variétés riemanniennes.
Revetements riemanniens. Invariants riemanniens : le volume riemannien.
Semaine 5 : La longueur d'une courbe et la distance riemannienne. Submersions riemanniennes :
la métrique de Fubini-Study sur l'espace projectif complexe. Les tores plats. TD1.
Semaines 6 et 7 : Le groupe d'isométries riemanniennes de l'espace euclidien, la sphère, l'espace hyperbolique.
Variétés riemanniennes homogènes. Les tores plats. La théorie de connexions sur un fibré. notes sur les connexions
Semaine 8 : Le transport parallèle. Connexions sans torison et connexions riemanniennes : le Théorème de Levi-Civita.
Semaine 9 : Les géodésiques riemanniennes. Existence locale et l'application exponentielle. Le Théorème du voisinage géodésiquement convexe. Le lemme de Gausse et géodésiques minimisantes.
Semaine 10 : Variétés riemanniennes complètes. Le Théorème de Hopf-Rinow.
TD2.
Semaine 11 : La courbure d'une connexion. La courbure riemannienne : courbure sectionnelle, de Ricci, scalaire. La courbure et la topologie: Les théorèmes de Myers et de Synge.