Horaire de cours :
Jeudi 11h00-12h30 et 13h30-15h00, PK-5333.
Description du cours :
Ce cours est proposé comme une introduction à la théorie des groupes et algèbres de Lie.
Nous couvrirons des sujets classiques, incluant la corréspondence entre les
groupes de Lie connexes et simplement connexes et les algèbres de Lie ;
sous-groupes fermés ; la représentation adjointe ; groupes de Lie compacts et formes bi-invariantes ;
algèbres de Lie résolubles et semi-simples ; les théorèmes de Lie et de Cartan ;
formes de Killing ; décomposition des racines ; classification des algèbres de Lie simples ;
algèbres de Lie réductives et décomposition de Cartant ; sous-groupes compacts maximaux.
Plan officiel du cours
Références :
Les notes seront la source principal. Voici quelques références utiles.
Pour la théorie de groupes de Lie :
F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag.
S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, AMS.
S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I and II, Interscience Pub.
C. Chevalley, Theory of Lie groups I, Princeton Univesrity Press.
Pour la théorie d'algèbres de Lie et leures représentations :
J. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and representation Theory, Springer-Verlag.
W. Fulton and J. Harris, Representation Theory, Springer-Verlag
Groupes et algèbres de Lie linéaires :
W. Rossmann, Lie Groups, Oxford Grad. Texts in Math.
Préparatifs (algèbre linéaire et géométrie différentielle) :
A. Kostrikin, Y. Manin, Linear algebra and geometry.
Gordon and Breach Science Publishers (ISBN: 90-5699-049-7)
N. J. Hitchin, Differentiable Manifolds.
Oxford Lecture Notes
Heures de consultation :
En prenant un rendez-vous par courriel (apostolov.vestislav@uqam.ca)
Programme du cours sujet par sujet
Chapitre 1 : Groupes et algèbres de Lie abstraites.
La notion d'une variété différentiable. Groupes de Lie.
L'espace tangent et champs de vecteurs lisses sur une variété différentiable (lisse).
L'espace des champs de vecteurs invariants sur un groupe de Lie :
l'algèbre de Lie associée à un groupe de Lie. L'exemple de GL(n, R).
Le flot d'un champ de vecteurs et l'exponentielle sur un groupe de Lie abstrait.
exercices 1
Le théorème des homomorphismes des groupes de Lie. Revetements.
Groupes de Lie simplement connexes et le théorème du revetement universel d'un groupe de Lie.
Exemple : le revetement universel de SL(2,R).
Le théorème de Frobenius sur une variété lisse et la correspondence de Lie pour un groupe de Lie.
Exemple d'un groupe de Lie non-linéaire.
Devoir I
L'application exponentielle. La representation adjointe d'un groupe de Lie.
La representation adjointe d'une algèbre de Lie.
Correspondence entre sous-groupes de Lie normaux et ideaux de l'algèbre de Lie.
Le centre d'un groupe de Lie et son algèbre de Lie. Correspondence entre champs de tenseurs bi-invariants sur un groupe de Lie et
tenseurs ad-invariants sur son algèbre de Lie. Applications : la volume de Haar et
la caracterisation des algèbres
de Lie compactes.
Chapitre 2 : La théorie d'algèbres de Lie.
La forme de Killing d'une algèbre de Lie. Critère de Cartan de compacité.
Algèbres de Lie simples et semi-simples.
Critère de Cartan de semi-simplicité.
exercices 2
Algèbres de Lie réductives. Algèbres de Lie résolubles et nilpotentes.
Théorèmes d'Engel et de Lie. Appliquations : l'existence d'une chaine d'idéaux stables dans une algèbre de Lie résoluble.
Devoir II
Décomposition de Jordan abstraite. Le critère de Cartan de résolubilité d'une algèbre de Lie.
Caractérisation des algèbres de Lie semi-simples en termes de non-existence des idéaux
abeliens et résolubles.
Chapitre 3 : La classification d'algèbres de Lie semi-simples.
Sous-algèbre de Cartan et espace des racines. Existence d'une sous-algèbre de Cartan
dans une algèbres de Lie semi-simple.
Programme des présentations orales
Chapitre 1 : Groupes et algèbres de Lie linéaires
Formes bi-linéaires non-dégénérées sur un espace vectoriel et les groupes de Lie classiques.
exercices 1
L'application exponentielle d'un opérateur linéaire.
exercices 2
Groupes linéaires et leures algébres de Lie.
La correspondence entre groupes et
algèbres de Lie linéaires.
exercices 3