Horaire de cours :
Mercredi 9h30-12h30 à distance (via ZOOM); le cours commencera le 09 septembre 2020.
Le lien ZOOM vous sera communiqué par e-mail.
Description du cours :
Le but du cours est d'introduire la théorie des varétés différentiables lisses.
Nous couvrirons des sujets classiques,
incluant la théorie des applications lisses entre variétés
(Théorème de Whitney du plongement, Théorème de Sard);
champs de vecteurs et crochet de Lie; fibrés tensoriels;
formes différentielles et cohomologie de de Rham; métriques riemanniennes et
le flot géodésique; formes harmoniques et théorie de Hodge.
Plan officiel du cours
Entente d'évaluation
Références :
Les notes prises par les étudiant(e)s seront la source principal.
Voici quelques références utiles.
F. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag.
S. Kobayashi and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. I and II, Interscience Pub.
R. Narasimhan, Analysis on real and complex manifolds, Advanced Studies in Pure Mathematics, Masson et Cie-Paris, 1968.
A. Kostrikin, Y. Manin, Linear algebra and geometry.
Gordon and Breach Science Publishers (ISBN: 90-5699-049-7)
Heures de consultation :
En prenant un rendez-vous par courriel (apostolov.vestislav@uqam.ca)
Programme du cours semaine par semaine
Chapitre 1 : Variétés lisses
Atlas lisse et la définition d'une variété lisse. Exemples.
Applications lisses entre variétés, difféomorphismes.
Fonctions lisses sur une variété et les fonctions de plateau.
exposé 1
exposé 2
Vecteurs tangents; l'espace tangent et cotangent.
La différentielle d'une application lisse entre variétés. Sous-variétés, plongements et immersions.
Partition d'unité et le théorème de Whitney de plongement.
exposé 3
L'espace tangent comme exemple d'un fibré vectoriel;
champs de vecteurs lisses et 1-formes
différentielles. Le fibré vectoriel dual.
exposé 4
Chapitre 2 : Calcul différentiel sur une variété lisse
L'action du groupe de difféomorphismes sur une fonction lisse et sur
un champ de vecteurs lisse. Correspondence entre sous-groupes d'un paramettre de
difféomorphismes et champs de vecteurs lisses.
Le crochet de Lie comme derivée. Produit tensoriel d'espaces vectoriels;
l'algèbre extérieure.
exposé 5
Fibrés tensoriels sur une variété lisse et la dérivée de Lie.
Formes différentielles, le produit extérieur, le produit intérieur et
la formule de Cartan.
exposé 6
Devoir 1
Cohomologies de de Rham ; lemme de Poincaré; exemples.
exposé 7
Orientation et formes volumes. Intégration des formes différentielles.
Dualité de Poincaré.
exposé 8
Devoir 2
Chapitre 3 : Variétés riemanniennes
Tenseur de Riemann et distance. Le laplacien riemannien et formes harmoniques. Théorème de Hodge et applications.
exposé 9
Chapitre 4 : Connexions
Connexion sur un firbré; transport parallèle, sections parallèles et le groupe de holonomie
d'une connexion. La courbure et l'holonomie. Fibrés plats.
exposé 10
Théorie de Chern-Weil.
La connexion de Levi-Civita et la courbure riemannienne d'une variété riemannienne.
Isométries.
La shpère, le plan euclidien et le plan hyperbolique. Isométries infinitesimales et l'agèbre de Lie de champs de Killing.
exposé 11
Devoir 3
Liste de sujets