Programme

Horaire (Montréal et France)

Montréal France Durée lundi mardi mercredi jeudi vendredi
9:00 15:00 50 min exposé Jean-Michel Bismut Yanir Rubinstein Olivier Biquard Giovanni Bazzoni Bernd Ammann
10:00 16:00 50 min exposé Ursula Ludwig Abdellah Lahdili Rosa Sena-Dias Nicolina Istrati Paolo Piazza
11:00 17:00 60 min discussions
12:00 18:00 30 min pause
12:30 18:30 50 min exposé Gerard Freixas Francesco Bei Claude LeBrun Spyros Alexakis Viviana del Barco
13:30 19:30 50 min exposé Richard Wentworth Ruxandra Moraru Henrique Sá Earp Ronan Conlon Eric Bahuaud
14:30 20:30 60 min discussions

Exposés

Spyros Alexakis
Formation de singularités à l'intérieur de trous noirs
En commençant par des exemples classiques de singularités à l'intérieur de trous noirs, je vais introduire l'hypothèse de la censure cosmique (version forte) de Penrose. Je vais aussi discuter de prédictions encore plus fortes concernant le comportement générique des métriques près des singularités. Cette discussion aura lieu en juxtaposition avec les questions sur les singularités initiales (de type « Big Bang »). Le nouveau résultat que je vais présenter concerne la stabilité de la singularité à l'intérieur de la solution de Schwarzschild sous des perturbations axi-symétriques et polarisées. C'est un travail en commun avec Gregoire Fournodavlos.

Bernd Ammann
Conditions au bord auto-adjointes en codimension~2 pour les opérateurs de Dirac - transparents et vidéo
Travail en collaboration avec Nadine Große Fribourg, Allemagne.

Supposons que \(M\) soit une variété orientée riemannienne complète et que \(N\) soit une sous-variété  orientée compacte de codimension 2. Nous supposons que \(M\setminus N\) est spin, et en plus porte un fibré en droites complexes \(L\) avec connexion unitaire. Nous étudions les extensions auto-adjointes de l'opérateur de Dirac \(D^L\) twisté par \(L\).

Ceci est motivé par des recherches en physique mathématique par Portland, Sok et Solovej venant de la théorie de la stabilité de la matière. Ces personnes  sont intéressées au cas \(M=S^3\) où ils étudient un flot spectral associé.

Nous construisons un fibré vectoriel \(V\to N\), tel que \(\Gamma(V)\) porte une structure symplectique naturelle. Les extensions auto-adjointes seront données par les sous-espaces lagrangiens de \(\Gamma(V)\).

À propos: On pourrait regarder les données \((M,N,D^L)\) comme une variété « incomplète edge » étudiée par Albin et Gell-Redman il y a quelques années, mais on ne peut pas appliquer leurs résultats, car dans notre situation, soit \(N\) est « invisible » pour \(D^L\), soit la « condition de Witt » n'est pas satisfaite. C'est la raison pour laquelle nous obtenons une théorie d'extensions auto-adjointes très riche.

Eric Bahuaud
Métriques de Poincaré-Einstein Géométriquement Finies - vidéo
Les métriques asymptotiquement hyperboliques (au sens de conformément compact) d'Einstein sont importantes en géométrie conforme et en physique. En 1991, Graham et Lee ont montré que toute perturbation suffisamment petite de la métrique canonique sur la sphère est l'infini conforme d'une métrique de remplissage asymptotiquement hyperbolique d'Einstein sur la boule ouverte. Dans cet exposé, je discuterai d'une généralisation du résultat de Graham-Lee aux métriques asymptotiques à un quotient de l'espace hyperbolique par un groupe géométriquement fini qui engendre des pointes à l'infini. Travail commun avec Frédéric Rochon.

Giovanni Bazzoni
Structures complexes symétriques et antisymétriques - transparents et vidéo
Nous étudions la géométrie d’une variété complexe (M; J) dotée d’une 2-forme fermée et non dégénérée par rapport à laquelle J est soit symétrique, soit antisymétrique. Cela mène, respectivement, à la notion de structure complexe-symplectique (aussi holomorphe-symplectique) et de structure pseudo-Kähler. Une structure complexe-symplectique est liée a plusieurs structures géométriques remarquables, par exemple hyperKähler et hypercomplexe, tandis que une structure pseudo-Kähler est la généralisation d’une structure Kähler au cas avec signature.

Le but de cet exposé est celui de décrire l’interaction de ces structures sur une variété complexe fixée et la construction d’exemples explicites. Travail en commun avec M. Freibert, A. Gil Garca, A. Latorre, B. Meinke.

Francesco Bei
Métriques hermitiennes singulières et convergence des valeurs propres - transparents
Le but de cet exposé est de décrire des résultats récents dans le cadre d'une famille lisse de métriques hermitiennes \(g(s)\) qui devient singulière pour \(s\rightarrow 0\). Plus précisément nous considérons un espace analytique compact irréductible et hermitien \((X,h)\) et une résolution de \(X\), \(\pi:M\rightarrow X\). Soit \(p:M\times [0,1]\rightarrow M\) la projection naturelle sur \(M\) et soit \(g\in C^{\infty}(M\times [0,1],p^*T^*M\otimes p^*T^*M)\) tel que:
  • \(\bullet \:g(s)\) est un produit hermitien sur \(M\) pour tout \(s\in [0,1]\);
  • \(\bullet \:g(s)\) n'est pas singulière pour \(0 < s\leq 1\), c'est-à-dire \(g(s)\) est une métrique hermitienne sur \(M\) pour tout \(0 < s\leq 1\);
  • \(\bullet \:g(0)=\pi^*h\) (la famille \(g(s)\) devient singulière pour \(s=0\)).
Pour \(0 < s\leq 1\) nous considérons le laplacien de Bochner-Kodaira \[\Delta_{\overline{\partial},m,0,s}:L^2\Omega^{m,0}(M,g_s)\rightarrow L^2\Omega^{m,0}(M,g_s)\] agissant sur les sections \(L^2\) du fibré canonique de \(M\). Il est bien connu que l'opérateur \(\Delta_{\overline{\partial},m,0,s}:L^2\Omega^{m,0}(M,g_s)\rightarrow L^2\Omega^{m,0}(M,g_s)\) est auto-adjoint à spectre entièrement discret pour \(0 < s\leq 1\). Dans ce séminaire nous montrerons l'existence d'un autre opérateur auto-adjoint à spectre entièrement discret \[\Delta_{\overline{\partial},m,0,\mathrm{abs}}:L^2\Omega^{m,0}(\mathrm{reg}(X),h)\rightarrow L^2\Omega^{m,0}(\mathrm{reg}(X),h)\] qui agit sur les sections \(L^2\) du fibré canonique de la partie régulière de \(X\) et tel que: \[\lim_{s\rightarrow 0}\lambda_k(s)=\lambda_k(0)\] où \(\{\lambda_k(s)\}\) et \(\{\lambda_k(0)\}\) sont respectivement les valeurs propres de \(\Delta_{\overline{\partial},m,0,s}\) et \(\Delta_{\overline{\partial},m,0,\mathrm{abs}}\).

Olivier Biquard
Dégénérescence de métrique de Kähler-Einstein coniques - vidéo
Nous étudions diverses situations de dégénérescence de métriques de Kähler-Einstein avec singularités coniques quand l'angle tend vers zéro. Travail en commun avec Henri Guenancia.

Jean-Michel Bismut
Faisceaux cohérents, caractère de Chern, et RRG - transparents et vidéo
Soit \(X\) une variété complexe compacte. Si \(\left(E,\nabla^{E \prime \prime }\right)\) est un fibré holomorphe, et si \(g^{E}\) est une métrique hermitienne sur \(E\), on peut construire la connexion de Chern \(\nabla^{E}\), et la forme caractère de Chern correspondante, à valeurs dans les formes fermées qui sont des sommes de formes de type \(\left(p,p\right)\).

Je montrerai comment étendre cette construction à des faisceaux cohérents arbitraires, à l'aide de la notion de superconnexion antiholomorphe introduite par Block. Une superconnexion antiholomorphe est un opérateur différentiel d'ordre 1, de même symbole que \(\overline{\partial}\), dont le carré est nul.

A l'aide de métriques généralisées, on construit un caractère de Chern à valeurs formes, dont la classe de cohomologie est à valeurs dans la cohomologie de Bott-Chern.

Pour des variétés complexes et des faisceaux cohérents généraux, on montre un théorème de Riemann-Roch-Grothendieck. On peut interpréter ce théorème comme une version raffinée du théorème d'indice des familles d'Atiyah-Singer.

L'exposé rend compte d'un travail commun avec Shu SHEN et Zhaoting WEI https://arxiv.org/abs/2102.08129.

Ronan Conlon
Solitons gradients stables de Kähler-Ricci - vidéo
Les solitons gradients stables de Kähler-Ricci sont des points fixes du flot de Kähler-Ricci n’évoluant que par l’action de biholomorphismes générés par un champ de vecteur réel holomorphe. La formation de telles singularités le long du flot est notoirement lente, ce qui les rend difficile à détecter. Nous montrons qu’il existe un unique soliton gradient stable de Kähler-Ricci dans chaque classe de Kähler d’une résolution crépante équivariante d’un cône de Calabi-Yau. Pour ce faire, nous résolvons une équation de Monge-Ampère complexe via une méthode de continuité. Notre construction se base sur un ansatz dû à Cao dans les années 90 qui a été repris par Biquard-MacBeth en 2017. En collaboration avec Alix Deruelle (Jussieu).

Viviana del Barco
Structures G2 (purement) cofermées sur des groupes de Lie nilpotents de longueur 2
Dans cet exposé j'introduirai des résultats récents de classification des structures G2 invariantes à gauche sur des groupes de Lie nilpotents de longueur 2, munis d'une métrique riemannienne invariante à gauche.

Nos résultats sont doubles. D'une part, on obtient la classification, à isomorphisme près, des groupes de Lie nilpotents de longueur 2 admettant des structures G2 purement cofermées, c'est-à-dire, dont la 3-forme non dégénérée \(\varphi\) vérifie \( \text{d} \star_{g_\varphi}\varphi = \text{d} \star_{g_\varphi}\varphi = 0 \).

D'autre part, nous répondons à la question de savoir quelles métriques sur ces groupes de Lie peuvent être induites par une structure cofermée (\(\text{d} \star_{g_\varphi}\varphi = 0 \)), ou purement cofermée. On constate que toute métrique invariante à gauche est induite par une structure cofermée. Par contre, toute algèbre de Lie admettant des structures purement cofermées possède des métriques qui ne sont pas induites par une telle structure. Nous prouvons ces résultats à travers une méthode constructive des structures G2 purement cofermées. En conséquence, on obtient en même temps de nouveaux exemples de nilvariétés compactes portant des structures G2 purement cofermées.

Exposé basé sur des travaux avec Andrei Moroianu et Alberto Raffero.

Henrique Sá Earp
Le système hétérotique \( \rm {G}_2 \) sur des 7-variétés Calabi-Yau de contact - transparents et vidéo
On obtient des solutions non triviales au système hétérotique \( \rm {G}_2 \), qui sont définies sur les espaces totaux de certains fibrés de cercles sur des 3-orbifoldes de Calabi–Yau. En ajustant les fibres \( S ^ 1 \) proportionnellement à une puissance de la constante de corde \( \alpha'\), on obtient une \( \rm {G} _2 \)-structure cocalibrée dont la torsion réalise un dilaton constant arbitraire (trivial) et un \( H \)-flot avec un défaut de Chern-Simons non-trivial. Nous trouvons des exemples de connexions sur le fibré tangent et un \( \rm {G}_2 \)-instanton non-plat induit à partir de la métrique horizontale Calabi-Yau qui satisfont ensemble la condition "libre d’anomalie", également connue sous le nom d’identité hétérotique de Bianchi. Les connexions sur le fibré tangent sont des \( \rm {G}_2 \) -instantons à moins de corrections d’ordre supérieur en \( \alpha'\).

Gerard Freixas
Fibré de Chern-Simons complexe et géométrie d’Arakelov - vidéo
Dans cet exposé nous aborderons la construction du fibré de Chern-Simons complexe sur un espace de modules de fibrés plats, dans le cadre d’une famille de surfaces de Riemann compacte. L’approche que nous proposons s’inspire des travaux de Bismut-Gillet-Soulé sur les formes de Bott-Chern secondaires, et leur utilisation dans la construction des classes caractéristiques de fibrés hermitiens en géométrie d’Arakelov. Le développement du formalisme repose de manière fondamentale sur la théorie de Hodge non-abélienne, et les déformations de métriques harmoniques. Nous présenterons quelques propriétés générales des fibrés de Chern-Simons complexes obtenus par ce biais. En fonction du temps, nous discuterons le lien avec la torsion de Cappell-Miller holomorphe des fibrés plats. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Eriksson et R. Wentworth.

Nicolina Istrati
Variétés de Kato toriques
Les variétés de Kato sont des variétés complexes compactes qui contiennent une coquille sphérique globale, c'est-à-dire un voisinage d'une sphère plongée de sorte que le complément reste connexe. Ces variétés ne sont pas kählériennes et elles jouent un rôle important dans la classification des surfaces de classe VII.

Dans cet exposé, je vais d'abord introduire les variétés de Kato. Je vais motiver leur étude du point de vue de la géométrie localement conformément kählérienne. Je parlerai aussi du problème de l'existence d'autres métriques hermitiennes distinguées. Ensuite, je vais décrire la construction d'une certaine classe de ces variétés en utilisant des outils de la géométrie algébrique torique. Finalement, je vais expliquer comment on peut étudier certains de leurs invariants analytiques. Ceci est un travail commun avec A. Otiman, M. Pontecorvo et M. Ruggiero.

Abdellah Lahdili
Métriques spéciales et K-stabilité pondérée
Sur une variété Kählérienne \(X\), on introduit les notions de courbure scalaire pondérée et de métrique Kählérienne à courbure scalaire pondérée constante, dépendant d'un tore réel fixé \(\mathbb{T}\) dans le groupe réduit des automorphismes de \(X\), et de deux fonctions lisses (poids) \(v > 0\) et \(w\), définies sur le polytope moment de \(X\) dans l’algèbre de Lie du tore \(\mathbb{T}\). Pour des choix spécifiques des fonctions poids \(v\) et \(w\), la recherche de métriques Kählériennes à courbure scalaire pondérée constante dans une classe de Kähler \(\alpha\), correspond à des problèmes bien connues de recherche de métriques spéciales en géométrie Kählérienne et Sasakian.

Dans cette exposée, nous définissons un invariant de Donaldson-Futaki pondéré pour des configurations test lisses associées à \((X,\alpha,\mathbb{T})\), et on montre que l'existence d'une métrique Kählérienne à courbure scalaire pondérée constante implique une notion de K-stabilité pondéré. Comme application, nous obtenons une correspondance de Yau-Tian-Donaldson pour des métriques Kählérienne à courbure scalaire pondérée constante sur des \(\mathbb{P}^{1}\)-fibrations au-dessus d’un produit de variétés de Hodge à courbure scalaire constante.

Claude LeBrun
Métriques d'Einstein, Courbure de Weyl, et Involutions Antiholomorphes - transparents et vidéo
En s'appuyant sur les résultats de travaux antérieurs, on achève la classification des variétés d'Einstein compactes orientées de dimension 4 dont la courbure de Weyl autoduale est de déterminant strictement positif. À difféomorphisme près, il y a exactement quinze variétés qui admettent de telles métriques; et, sur chacune de ces variétés, ces métriques remplissent exactement une composante connexe de l'espace de modules des métriques d'Einstein.

Ursula Ludwig
Théorème de Cheeger-Müller pour un espace à singularités coniques
Le but de cet exposé est d'expliquer la généralisation du théorème de Cheeger-Müller, théorème de comparaison entre torsion analytique et torsion topologique, pour un espace à singularités coniques isolées. Pour cela on va généraliser au cas singulier la preuve de Bismut et Zhang, qui permet de traiter également le cas des fibrés plats équipés d'une métrique hermitienne arbitraire.

Les outils utilisés dans la preuve sont les techniques d'indice local et la généralisation de la déformation de Witten au cas des espaces singuliers à singularités coniques munis d'une fonction de Morse radiale.

Ruxandra Moraru
Paires de structures généralisées commutantes, géométrie para-hyper-Hermitienne et géométrie Born - vidéo
Soit \(M\) une variété lisse avec fibré tangent \(T\) et fibré cotangent \(T^*\). Une structure généralisée sur \(M\) est un endomorphisme de \(T \oplus T^*\) dont le carré est \(\pm Id_{T \oplus T^*}\). Dans cet exposé, nous considérons des paires de structures généralisées sur \(M\) dont le produit est une métrique généralisée. Les structures Kählériennes généralisées sont un exemple de telles paires commutantes. En fait, il existe trois autres types de telles paires commutantes : structures généralisées para- Kählériennes, généralisées chirales et généralisées anti-Kählériennes. Nous traitons de l’intégrabilité de telles structures et décrivons comment les géométries para-hyper-Hermitienne et Born s’inscrivent dans ce cadre généralisé.

Paolo Piazza
Invariants rho supérieurs et métriques à courbure scalaire positive - transparents
Dans ce séminaire je présenterai des résultats obtenus en collaboration avec Thomas Schick et Vito Felice Zenobi. Soit \(\Gamma\to M_\Gamma\to M\) un revêtement Galoisien d'une variété compacte sans bord et soit \(D\) un opérateur de Dirac \(\Gamma\) équivariant sur \(M_\Gamma\). Si \(D\) est \(L^2\)-inversible alors \(D\) définit une classe \(\rho (D)\) dans le groupe de chirurgie analytique de Higson-Roe (un groupe de K-théorie d'une \(C^*\)-algèbre non-commutative). Supposons que \(\Gamma\) soit Gromov hyperbolique ou à croissance polynomiale: sous cette hypothèse j'expliquerai comment obtenir des invariants numériques \(\rho^\tau (D)\) associés aux classes \(\tau\) dans \(HC^* (\Gamma, \langle x \rangle)\), c'est-à-dire, la cohomologie cyclique associée à la classe de conjugaison de \(x\in \Gamma\). J'expliquerai comment utiliser ces invariants secondaires supérieurs pour étudier l'espace des métriques à courbure scalaire positive.

Yanir Rubinstein
Yau-Tian-Donaldson pour les nuls - vidéo
En utilisant des seuils log canoniques et des diviseurs de base, Fujita–Odaka ont introduit des invariants purement algébro-géométriques \(\delta_m\) dont la limite en m caractérise la K-stabilité uniforme sur une variété de Fano. Comme Blum–Jonsson l’ont démontré, ces résultats se généralisent à une polarisation quelconque. Avec le travail de Berman, Boucksom, et Jonsson, on sait actuellement que la limite de ces invariants \(\delta_m\) caractérisent la stabilité Ding uniforme. Depuis le travail de Fujita–Odaka, un problème fondamental consiste à trouver une interprétation analytique de ces invariants.

Dans un travail en collaboration avec G. Tian et K. Zhang, nous proposons une nouvelle approche pour s’attaquer à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson. D’abord, nous démontrons que chaque \(\delta_m\) est le seuil de coercivité d’une fonctionnelle Ding quantifiée sur le m-ième espace de Bergman, donc caractérise l’existence des métriques équilibrées. Cette approche a quelques applications. La plus basique peut-être est de fournir une méthode alternative pour calculer ces invariants, nouvelle même pour \(\mathbb{P}^n\). De plus, elle nous permet d’introduire des invariants purement algébriques qui caractérisent l’existence des solitons de Kähler–Ricci (et les g-solitons plus généraux de Berman–Witt Nyström), de même que les versions couplées de ceux-ci. Aussi, elle nous mène à des résultats d’approximation pour des métriques équilibrées en présence d’automorphismes qui généralisent des résultats de Donaldson. Finalement, dans un travail récent, K. Zhang complète cette approche, fournissant une preuve simple de la conjecture Yau-Tian-Donaldson uniforme sans utiliser la théorie profonde de Cheeger-Colding-Tian.

Rosa Sena-Dias
Unicité parmi les métriques de Kähler toriques à courbure scalaire nulle sur des surfaces non-compactes - vidéo
Dans cet exposé je discuterai d'un résultat récent grâce auquel nous savons que les métriques de Kähler toriques à courbure scalaire nulle connues sur des surfaces non-compactes et construites avec M. Abreu en 2010 sont les seules qui puissent exister, à une isométrie équivariante prés.

Nous mettrons ce résultat en contexte et rappellerons une construction locale de Joyce pour des métriques anti-auto-duales sur laquelle repose la construction obtenue avec Abreu. En retournant cette construction, nous pourrons ensuite expliquer d'où sort l'unicité, notamment pourquoi il est possible d'obtenir un tel résultat sans faire d'hypothèses sur le comportement asymptotique.

Richard Wentworth
Sur les équations \(\Omega\)-Yang-Mills - vidéo
Dans cette conférence, je présenterai quelques résultats récents sur les propriétés analytiques des solutions à un système d'équations analogue aux équations de Yang-Mills en dimension \(n\geq 4\). Celles-ci sont définies en termes d'une \((n-4\))-forme lisse auxiliaire \(\Omega\), et ont été utilisées pour définir des instantons en géométrie calibrée. Ils apparaissent également naturellement dans la forme de multipolisations de variétés algébriques projectives. Dans ce cas, la forme \(\Omega\) n'est pas forcément fermée, et traiter, l'analyse dans ce cas est l'objectif principal. Ce travail est en collaboration avec Xuemiao Chen.